Question

已知函数f(x)=

sinx+cosx

sinxcosx

，在下列给出结论中：
①π是f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称；
③f（x）在(-

π

2

，0)上单调递减．
其中，正确结论的个数为（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：①将x换为x+π，计算得到结果看与f（x）相等与否即可做出判断；
②验证f（x）是否等于f（

π

2

-x），即可做出判断；
③设t=sinx+cosx，可得sinxcosx=

t2-1

2

，由x的范围求出t的范围，得出函数增减性，判断即可．

解答：解：①f（x+π）=

sin(π+x)+cos(π+x)

sin(π+x)cos(π+x)

=-

sinx+cosx

sinxcosx

≠f（x），π不是f（x）的一个周期，本选项错误；
②∵f（

π

2

-x）=

sin( π 2 -x)+cos( π 2 -x)

sin( π 2 -x)cos( π 2 -x)

=

cosx+sinx

cosxsinx

=f（x），∴f（x）图象关于直线x=

π

4

对称，本选项正确，
③设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），可得sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（x）=

2t

t2-1

，
∵-

π

2

＜x＜0，
∴-

π

4

＜x+

π

4

＜

π

4

，即-1＜t＜1，
在（-1，1）上任取两实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x12-1

-

2x2

x22-1

=

2(x1x2+1)(x2-x1)

(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以-1＜x₁•x₂＜1，x₁•x₂+1＞0，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₁-1＜0，x₂+1＞0，x₂-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以

2t

t2-1

在（-1，1）上单调递减，本选项正确，
则正确结论的个数为2个，
故选C

点评：此题考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．