Question

16．甲、乙两人在同一位置向同一目标射击，两人是否击中目标相互之间没有影响，已知甲每次射击击中目标的概率为$\frac{1}{2}$，乙连续射击三次其中恰有一次击中目标的概率为$\frac{3}{8}$，（乙击中目标的概率为有理数），若甲射击三次，乙射击一次，两人击中目标的次数之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 先求出乙每次射击击中目标的概率，再确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求出分布列及数学期望．

解答 解：设乙每次射击击中目标的概率为P，则${C}_{3}^{1}P•（1-P）^{2}$=$\frac{3}{8}$，∴P=$\frac{1}{2}$．
由题意，ξ=0，1，2，3，4，则
P（ξ=0）=$\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{16}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}+{C}_{3}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}$=$\frac{6}{16}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{{2}^{3}}•\frac{1}{2}+{C}_{3}^{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

数学期望Eξ=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{6}{16}$+3×$\frac{1}{4}$+4×$\frac{1}{16}$=2．

点评 本题考查分布列及数学期望，考查概率的计算，确定变量的取值，正确求概率是关键．