Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n+1=4ⁿ，求S_n．

Answer 1

分析 由题意和递推公式求出a₂，由a_n•a_n+1=4ⁿ得$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4，利用等比数列的定义判断出数列的特点，对n分奇数和偶数利用等比数列的前n项和公式分别求出S_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n•a_n+1=4ⁿ，∴a₁=1，a₂=$\frac{4}{{a}_{1}}$=4，
∵a_n•a_n+1=4ⁿ，∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n+1}}{{4}^{n}}$=4，
则$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=4，
∴数列{a_n}中的奇数项、偶数项都构成以4为公比的等比数列，
（1）当n=2k（k∈N₊）时，则k=$\frac{n}{2}$，
S_n=$\frac{1-{4}^{k}}{1-4}$+$\frac{4（1-{4}^{k}）}{1-4}$=$\frac{5}{3}$（4^k-1）=$\frac{5}{3}$（${4}^{\frac{n}{2}}-1$）=$\frac{5}{3}$（2ⁿ-1）；
（2）当n=2k-1（k∈N₊）时，则k=$\frac{n+1}{2}$，
S_n=$\frac{1-{4}^{k}}{1-4}$+$\frac{4（1-{4}^{k-1}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$•4^k-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}•{2}^{n+2}-\frac{5}{3}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{2}^{n+2}-\frac{5}{3}，n为奇数}\\{\frac{5}{3}•{2}^{n}-\frac{5}{3}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的定义、前n项和公式，数列递推公式的化简与转化，以及分类讨论思想，属于中档题．