Question

15．设函数f（x）=ax²+bx．
（1）若f（x）＞2的解集为（1，2），求a、b的值；
（2）若1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，求f（2）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于ax²+bx＞2的解集为（1，2），可得a＜0，1，2是一元二次方程ax²+bx-2=0的两个实数根，
利用根与系数的关系即可得出．
（2）由1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，可得1≤a+b≤2，3≤a-b≤4，设f（2）=4a+2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b．令$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得m，n即可得出．

解答 解：（1）∵ax²+bx＞2的解集为（1，2），
∴a＜0，1，2是一元二次方程ax²+bx-2=0的两个实数根，
∴1+2=-$\frac{b}{a}$，1×2=$\frac{-2}{a}$，解得a=-1，b=3．
∴a=-1，b=3．
（2）∵1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，
∴1≤a+b≤2，3≤a-b≤4，
设f（2）=4a+2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得m=3，n=1．
∴3≤3（a+b）≤6，3≤a-b≤4，
6≤4a+2b≤10．
∴6≤f（2）≤10．
即f（2）∈[6，10]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．