Question

3．在（1-x²）¹⁰的展开式中，如果第r+1项和第2r-7项的二项式系数相等．
（1）求r的值；
（2）求（x-$\frac{1}{x}$）^r展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （1）利用二次展开式的通项公式求出第r+1项和第2r-7项的二项式系数，列出方程，利用组合数的性质求出r；
（2）利用二项展开式的通项公式求出T_4r与T_r+2．

解答 解：（1）∵${C}_{10}^{r}={C}_{10}^{2r-8}$，
∴r+2r-8=10，或r=2r-8（舍去），
∴r=6；
（2）由（1）知r=6，（x-$\frac{1}{x}$）^r展开式中的常数项x的幂指数为0．，
∴T₁₆=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•（-$\frac{1}{x}$）^r=（-1）^r${C}_{6}^{r}$x^6-2r；
6-2r=0，解得r=3．
（x-$\frac{1}{x}$）^r展开式中的常数项：-20．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式是的特定项问题、考查组合数的性质，属于中档题．