Question

11．某仓库为了保持内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部是等边三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圆，点E为AB的中点，△EMN是通风窗，（其余部分不通风）MN是可以沿设施的边框上下滑动且保持与AB平行的伸缩杆（MN和AB不重合）．
（1）设MN与C之间的距离为x米，试将△EMN的面积S表示成x的函数S=f（x）；
（2）当MN与C之间的距离为多少时，△EMN面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）当M、N分别在AC、BC上时，先求出MN=2$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$，可得△EMN的面积S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）的解析式．当M、N都在半圆上时，先求得MN=2x•tan30°，可得f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）的解析式．
（2）对于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$•（x-$\sqrt{3}$），利用基本不等式可得f（x）求得它的最大值；
对于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•（$\sqrt{3}$-x），利用二次函数的性质求得f（x）的最大值，综合可得结论．

解答 解：（1）由题意可得半圆的半径等于1，等边三角形ABC的高为$\sqrt{3}$，
当M、N分别在AC、BC上时，MN=2$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$，$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{3}$+1．
△EMN的面积S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$•（x-$\sqrt{3}$）．
当M、N都在半圆上时，MN=2x•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
△EMN的面积S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•（$\sqrt{3}$-x）．
（2）对于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}}$•（x-$\sqrt{3}$），
利用基本不等式可得f（x））≤$\frac{[1{-（x-\sqrt{3}）}^{2}]{+（x-\sqrt{3}）}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当1-${（x-\sqrt{3}）}^{2}$=${（x-\sqrt{3}）}^{2}$，即x=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
对于S=f（x）=$\frac{1}{2}$MN•（$\sqrt{3}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•（$\sqrt{3}$-x）．
利用二次函数的性质可得当x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，f（x）取得最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$．
综上可得，当x=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，△EMN的面积S=f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，基本不等式、二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．