Question

1．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（1）若直线l与曲线C有两个不同点的交点，求实数k的取值范围；
（2）当直线l与曲线C相切时，求直线l的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，化为y=k（x+1）．利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据直线l与曲线C有两个不同点的交点，可得d＜R解出即可．
（2）由（1）可知：当直线l与曲线C相切时，d=R，解出k即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为x²+y²=4x，配方为（x-2）²+y²=4．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，化为y=k（x+1）．
∵直线l与曲线C有两个不同点的交点，
∴$\frac{|2k-0+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，解得$-\frac{2\sqrt{5}}{5}＜k＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴实数k的取值范围是$（-\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$；
（2）由（1）可知：当直线l与曲线C相切时，
可得：k=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴$y=±\frac{2\sqrt{5}}{5}（x+1）$，
化为极坐标方程为：2ρcosθ±$\sqrt{5}$ρsinθ+2=0．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．