Question

16．已知a+2b=2，a＞0，b＞0，则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 a+2b=2，a＞0，b＞0，可得2a=4-4b＞0，解得0＜b＜1．于是$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4-4b}{b}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4}{b}$-1=f（b），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵a+2b=2，a＞0，b＞0，
∴2a=4-4b＞0，解得0＜b＜1．
则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4-4b}{b}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4}{b}$-1=f（b），
f′（b）=$\frac{1}{4（1-b）^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=$\frac{（4-3b）（5b-4）}{4（b-{b}^{2}）^{2}}$=$\frac{-15（b-\frac{4}{5}）（b-\frac{4}{3}）}{4（b-{b}^{2}）^{2}}$，
当$0＜b＜\frac{4}{5}$时，f′（b）＜0，此时函数f（b）单调递减；当$\frac{4}{5}＜b＜1$时，f′（b）＞0，此时函数f（b）单调递增．
∴当b=$\frac{4}{5}$时，函数f（b）取得最小值$\frac{9}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．