Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{x}{2}$，tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$），tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）），令f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，试求：
（1）函数f（x）的最大值、最小正周期；
（2）并写出f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算结合两角和与差的正弦、正切公式化简．
（1）直接由化简后的解析式得到最大值，由周期公式求得周期；
（2）由复合函数的单调性写出单调期间．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{x}{2}$，tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$），tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）），
则f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2\sqrt{2}cos\frac{x}{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）+tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）tan（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$
=2$\sqrt{2}$$cos\frac{x}{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\frac{x}{2}）$$+\frac{tan\frac{x}{2}+1}{1-tan\frac{x}{2}}•\frac{tan\frac{x}{2}-1}{1+tan\frac{x}{2}}$
=$2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1$=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$．
（1）函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，最小正周期为2π；
（2）当x$∈[0，\frac{π}{4}]$时，f（x）═$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$为增函数，
当x∈$[\frac{π}{4}，π]$时，f（x）═$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$为减函数．
∴f（x）在[0，π]上的单调增区间为$[0，\frac{π}{4}]$；单调减区间为$[\frac{π}{4}，π]$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，是中档题．