Question

4．设函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+1}$，求f（x）在[0，1]上的值域．

Answer 1

分析 得出f（0）=0，f（1）=2，当0＜x＜1时，f（x）=2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$x∈（0，1），运用对钩函数的单调性求解得出0＜2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$＜2，即可求解值域．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+1}$，
x=0时，f（0）=0，x=1时，f（1）=2，
当0＜x＜1时，f（x）=2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$，
∵x-1+$\frac{2}{x-1}$＜-3，
∴x-1$+\frac{2}{x-1}$+2＜-1，
∴-1＜$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$＜0，
即0＜2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$＜2，
综上f（x）在[0，1]上的值域[0，2]

点评 本题考查了分式函数的值域的求解，关键是恒等变形得出不等式条件，运用对钩函数的性质求解，考查了学生的恒等变形能力．