Question

5．二项式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，且常数项为-160，则${∫}_{a}^{2}$（x²+sinx）dx的值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由题意求得n值，写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r值，再由常数项为-160求得a，代入定积分，求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．

解答 解：∵二项式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
∴n=6，即（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ =（x+$\frac{a}{x}$）⁶，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{a}{x}）^{r}$=${a}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
令6-2r=0，解得r=3．
∴展开式中的常数项为${a}^{3}{C}_{6}^{3}=-160$，即a=-2．
∴${∫}_{a}^{2}$（x²+sinx）dx=${∫}_{-2}^{2}（{x}^{2}+sinx）dx=（\frac{1}{3}{x}^{3}-cosx）{|}_{-2}^{2}$
=$\frac{8}{3}-cos2+\frac{8}{3}+cos（-2）=\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查定积分的求法，关键是熟记二项展开式的通项与基本初等函数的导数公式，是基础题．