Question

7．求函数y=-$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$的值域．

Answer 1

分析 分类得出当x=0时，y=0；当x＜0时y=$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，换元得出设t=$\frac{1}{x}$，则t＜0，m=2t²+2t+1，在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上单调递减，（-$\frac{1}{2}$，0）单调递增，y=$\frac{1}{\sqrt{m}}$

当x＞0时，y=-$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，设t=$\frac{1}{x}$，则t＞0，m=2t²+2t+1，在（0，+∞）单调递增，m＞1，y=-$\frac{1}{\sqrt{m}}$，再分别利用二次函数的单调性求解即可．

解答 解：∵函数y=-$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$，的定义域为R，
∴当x=0时，y=0，
当x＜0时，y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，
设t=$\frac{1}{x}$，则t＜0，m=2t²+2t+1，在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上单调递减，（-$\frac{1}{2}$，0）单调递增，
y=$\frac{1}{\sqrt{m}}$，
m≥2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
根据函数y=$\frac{1}{\sqrt{x}}$的单调性得出：0$＜y≤\sqrt{2}$，
当x＞0时，y=-$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，
设t=$\frac{1}{x}$，则t＞0，m=2t²+2t+1，在（0，+∞）单调递增，
∴m＞1，y=-$\frac{1}{\sqrt{m}}$
即得出：-1＜y＜0，

综上得出：函数y=-$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$的值域为（-1，$\sqrt{2}$]

点评 本题考查了较复杂的函数的值域的求解，分类讨论的思想，利用函数单调性求解值域，换元法思想，属于中档题．