Question

19．已知{a_n}是等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=a_n+2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列，可得${a}_{3}^{2}$=a₂（a₄+1），即（2+2d）²=（2+d）（3+3d），解出即可．
（2）由于b_n=a_n+2ⁿ=2n+2ⁿ．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}$=a₂（a₄+1），即（2+2d）²=（2+d）（3+3d），化为d²-d-2=0，解得d=2或-1．
其中d=-1舍去．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）∵b_n=a_n+2ⁿ=2n+2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$
=n+n²+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．