Question

4．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB-4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²）．
（1）求c和cosC的值；
（2）求$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{asinA+bsinB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长；
利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值；
（2）由正弦定理列出关系式，变形后利用合比性质化简，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）∵sinA+sinB-4sinC=0，
∴a+b=4c，
∵△ABC的周长L=5，
∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．
∵面积S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²），
∴$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²）=$\frac{16}{5}-\frac{1}{5}[（a+b）^{2}-2ab]$=$\frac{2}{5}ab$，
∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∵c＜a+b，C是锐角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$．
（2）$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{asinA}$=$\frac{{b}^{2}}{bsinB}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{asinA+bsinB}$=$\frac{5}{4}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式的运用，以及比例的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．