Question

9．过抛物线y²=4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点的切线相交于P，则S_△PABmin=（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，两边对x求导，可得切线的斜率，讨论AB斜率不存在，求得切线斜率，即可判断量切线垂直；再设AB：y=k（x-1），（k≠0），联立y²=4x，消去x，运用韦达定理，结合切线公式，由直线垂直的条件也可判断AP⊥BP，由此结合抛物线的几何性质可知P在抛物线的准线上，设出直线AB与抛物线对称轴的夹角，然后把三角形PAB的面积用含有夹角的代数式表示，利用三角函数求得最值．

解答 解：抛物线y²=4x焦点为（1，0），
设抛物线y²=4x的点（m，n），
由2yy′=4，即有y′=$\frac{2}{y}$，
即切线的方程为y-n=$\frac{2}{n}$（x-m），
由于n²=4m，即有ny=2（m+x）．
若直线l：x=1，则交点A（1，2），B（1．-2），
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-（x-1），
即有PA⊥PB，则△ABP为直角三角形；
若直线AB的斜率为k，即有AB：y=k（x-1），（k≠0），
联立y²=4x，消去x，可得$\frac{k}{4}$y²-y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4．
则有切线的斜率为$\frac{2}{{y}_{1}}，\frac{2}{{y}_{2}}$，
且$\frac{2}{{y}_{1}}•\frac{2}{{y}_{2}}=\frac{4}{{y}_{1}{y}_{2}}=-1$，
即有PA⊥PB，则△ABP为直角三角形．
∴由抛物线的几何性质可得，过A，B两点的切线的交点P在抛物线的准线上，
设直线AB与x轴的夹角为θ，由抛物线的性质可得：|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴，设AB中点为M，
则|PM|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{p}{si{n}^{2}θ}$．
P到AB的距离为|PM|sinθ=$\frac{p}{sinθ}$．
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}$|AB|$•\frac{p}{sinθ}$=$\frac{{p}^{2}}{si{n}^{3}θ}$．
当sinθ=1时，△ABQ的面积有最小值，最小值为p²=4．
故选：C．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用两直线垂直的条件是解题的关键，是中档题．