Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+2nlnx-p在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则z=3m-2n的取值范围为（-11，-3）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，由题意可得x²+mx+2n=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，即有g（0）＞0，g（1）＜0，g（2）＞0，得到关于m，n的不等式组，问题转化为线性规划问题，运用角点法，代入计算求出z=3m-2n的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+2nlnx-p，
∴f′（x）=x+m+$\frac{2n}{x}$（x＞0）=$\frac{{x}^{2}+mx+2n}{x}$，
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，
∴g（x）=x²+mx+2n=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
g（0）＞0，g（1）＜0，g（2）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{2n＞0}\\{m+2n+1＜0}\\{m+n+2＞0}\end{array}\right.$，
z=3m-2n的几何意义为m=0，直线在n轴截距的-2倍，
如图示：
求得A（-2，0），B（-1，0），C（-3，1），
代入z=3m-2n可得z=-6，-3，-11，
则z=3m-2n的取值范围为（-11，-3）．
故答案为：（-11，-3）．

点评 本题考查了导数的运用：求极值问题，注意运用转化思想，考查简单的线性规划问题，运用角点法求得z是解题的关键，是一道中档题．