Question

若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-2的零点为m，g（x）=log_ax+x-2的零点为n，则

1

m

+

1

n

的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（

  7

  2

  ，+∞）
• C、（4，+∞）
• D、（

  9

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：基本不等式,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由指数函数和对数函数图象的对称性可知m+n=2，可得

1

m

+

1

n

=

1

2

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

2

（2+

m

n

+

n

m

），由基本不等式可得．

解答： 解：∵函数f（x）=a^x+x-2的零点为m，
∴m可看作y=a^x与y=2-x图象的交点的横坐标，∴0＜m＜1，
同理∵g（x）=log_ax+x-2的零点为n，
n可看作y=log_ax与y=2-x图象的交点的横坐标，∴1＜n＜2，
由y=a^x与y=log_ax的对称性可知m+n=2，
∴

1

m

+

1

n

=

1

2

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

2

（2+

m

n

+

n

m

）
≥

1

2

（2+2

m n • n m

）=2，
当且仅当m=n=1时，取等号，但m≠n，
∴

1

m

+

1

n

的取值范围为：（2，+∞）
故选：A

点评：本题考查函数的零点，涉及函数图象的对称性和基本不等式，属中档题．