Question

已知集合A={x|x²-x≤0，x∈R}，设函数f（x）=2 x2-2x+2，x∈A的值域为B．
（1）求集合（∁_RA）∩B；
（2）若C={x|1+m≤x≤2m}，且集合C是（∁_RA）∩B的真子集，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算,集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用,集合

分析：先求出x²-x≤0的解集A，再利用换元法、二次函数、指数的性质求出函数f（x）的值域B，
（1）由补集、交集的运算求出∁_RA和（∁_RA）∩B；
（2）由（1）和真子集的定义列出不等式组，注意空集的情况，再求出实数m的取值范围．

解答： 解：由x²-x≤0得0≤x≤1，则集合A={x|0≤x≤1}=[0，1]，
设t=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，则2^t≥2¹=2，
所以f（x）=2 x2-2x+2≥2，即函数的值域B=[2，+∞），
（1）因为∁_RA=（-∞，0）∪（1，+∞），
所以（∁_RA）∩B=[2，+∞）；
（2）因为C={x|1+m≤x≤2m}，且集合C是（∁_RA）∩B的真子集，
所以有C=∅或C≠∅两种情况，
则1+m＞2m或

1+m≤2m 1+m≥2

，解得m＜1或m≥1，即m∈R，
所以实数m的取值范围是R．

点评：本题主要考查交、补集的混合运算，集合之间的关系，同时要注意空集是任何非空集合的子集．