Question

已知a，b，c均为正数，证明：a²＋b²＋c²＋²≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

Answer 1

见解析

法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得
a²＋b²＋c²≥3(abc)，①
≥3(abc)－，②
所以²≥9(abc)－.
故a²＋b²＋c²＋²≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ac，
所以a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ac.①
同理≥，②
故a²＋b²＋c²＋²≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立，
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)²＝(bc)²＝(ac)²＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．