Question

6．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=\frac{1}{2}-t}\end{array}\right.$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，设直线l与曲线C交于两点A，B
（1）将直线1和曲线C化为普通方程；
（2）若P（1，$\frac{1}{2}$），求|PA|+|PB|，及|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根据参数方程解出参数，得出普通方程；
（2）将直线参数方程代入曲线普通方程得出A，B对应的参数值，得出答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=\frac{1}{2}-t}\end{array}\right.$得x+2y=2，∴直线l的普通方程为x+2y-2=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{2}}\\{sinθ=y}\end{array}\right.$，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=\frac{1}{2}-t}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得$\frac{（1+2t）^{2}}{4}$+（$\frac{1}{2}-t$）²=1，即2t²-$\frac{1}{2}$=0．
∴t=$±\frac{1}{2}$．∴|PA|=|PB|=$\frac{1}{2}$，
∴|PA|+|PB|=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，|PA|•|PB|=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．