Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，且AD=$\sqrt{2}$AB，E为PB的中点．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：AC⊥PB．

Answer 1

分析 （1）由图形，连接BD交AC于一点O，连接EO，可以看到线面是平行的，下用线面平行的判定定理证明；
（2）以AD的中点M为原点，分别以MD，MO，MP方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设AB=1，则可求M，A，C，B，P点的坐标，从而可求$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），由于$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即可证明AC⊥PB．

解答 证明：（1）连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，
又∵E为PB的中点，
∴EO∥PD，
∴PD∥平面EAC．
（2）解：如图所示，以AD的中点M为原点，分别以MD，MO，MP方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设AB=1，
则M（0，0，0），A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
故：$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
由于$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$=0，
故AC⊥PB．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．