Question

【题目】已知圆C过点，与y轴相切，且圆心在直线上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若圆C半径小于2，求经过点且与圆C相切的直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1或（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．

（2）3x﹣4y-4＝0或x＝0．

【解析】

（1）由题意可设圆心坐标为（a，a），又圆C与y轴相切，可得半径r＝|a|，圆的标准方程设为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，又圆过点A（2，1），代入解方程即可得到所求圆的方程．

（2）先由条件确定圆的方程，再讨论过点（0，-1）且与该圆相切的直线方程斜率不存在时，满足题意，斜率存在时，设直线方程为y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，由圆心C（1，1），半径r＝1，知，由此能求出切线方程．

（1）∵圆心在直线x﹣y＝0上，∴设圆心坐标为（a，a），

又圆C与y轴相切，∴半径r＝|a|，

圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，又圆过点A（2，1），

∴（2﹣a）2+（1﹣a）2＝a2，

即a2﹣6a+5＝0，∴a＝1或a＝5，

∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，

或（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．

（2）∵圆C半径小于2，结合（1）可知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，过点（0，-1）且与该圆相切的直线方程斜率存在时，直线方程为y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，

∵C（1，1），半径r＝1，知，解得k．

∴当切线的斜率k存在时，其方程为y＝x﹣1，

即3x﹣4y-4＝0．

当切线的斜率k不存在时，其方程为x＝0．

故切线方程为3x﹣4y-4＝0或x＝0．