Question

设函数f（x）=x²+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；
（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．

Answer 1

分析：（1）首先考虑函数的定义域，然后利用函数f（x）是增函数，可知导数大于等于0在（-

1

2

，+∞）上恒成立即可求解；
（2）先构造函数g（x）=f（x）-x=x²-x+ln（2x+1），可说明g（x）在整个定义域（-

1

2

，+∞）上是增函数，从而问题得证．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-

1

2

，+∞），f/(x)=

4x2+2x+2b

2x+1

∵函数f（x）是增函数，∴f/(x)=

4x2+2x+2b

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
∴4x²+2x+2b≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，即b≥-2x²-x在（-

1

2

，+∞）上恒成立
又∵-2x2-x≤

1

8

，当且仅当x=-

1

4

时，等号成立，∴b≥

1

8

（Ⅱ）∵b=1，∴f（x）=x²+ln（2x+1）
设函数g（x）=f（x）-x=x²-x+ln（2x+1），则g（x）的定义域也是（-

1

2

，+∞），并且g/(x)=

4x2+1

2x+1

＞0 
∴g（x）在整个定义域（-

1

2

，+∞）上是增函数．
∴对任意的正整数n，有g（n）＞g（0）恒成立
即对任意的正整数n，f（n）-n＞0，也即不等式n＜f（n）恒成立．

点评：本题主要考查学生利用导数研究函数单调性的能力，函数恒成立条件的等价转化处理是关键