Question

10．设命题p：?x₀∈R，x₀²+2ax₀-2a=0，命题q：?x∈R，ax²+4x+a＞-2x²+1，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则命题p和命题q一真一假，分类讨论，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：当命题p为真时，△=4a²+8a≥0，解得：a≥0，或a≤-2，
当命题q为真时，（a+2）x²+4x+（a-1）＞0恒成立，
∴a+2＞0且△=16-4（a+2）（a-1）＜0，即a＞2…（6分）
由题意得，命题p和命题q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，得a≤-2；
当命题p为假，命题q为真时，不存在满足条件的a值；
∴实数a的取值范围为a≤-2…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，存在性问题和恒成立问题，难度中档．