Question

如图，四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD、CD⊥AD、CD=2AB，PA⊥面ABCD、E为PC中点.

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD

(2)求证：BE∥平面PAD

(3)假定PA=AD=CD，求二面角E-BD-C的平面角的正切值.

Answer 1

(1)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC.

∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD.

∵DC面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.

(2)证明：取PD中点F，连接EF，FA，∴E为PC中点，

∴在△PDC中：EFDC，∴EFAB.

∴四边形ABEF为平行四边形，即：BE∥AF.

∵AF面PAD且BE面PAD,

∴BE∥平面PAD .

(3)解：连接AC，取AC中点O，连接EO，在△PAC中：EOPA，

∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.

由三垂线定理知:∠EGO为所求二面角E-BD-C的平面角.

设PA=AD=CD=2a，AB=a,

∴EO=a，连DO并延长交AB于B′，

则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′.

∴OG=B′G′=BB′sinB′BG′=BB′·sinABD=

a·=a·.

在△EOG中：tanEGO=.

故二面角E-BD-C的平面角的正切值为.