Question

4．已知P是抛物线C：x²=4y上一动点，直线l：y=x-2．
（1）求点P到直线l的最小距离；
（2）当P到直线l的距离最小时，求以点P为圆心且与抛物线C准线相切的圆方程．

Answer 1

分析 （1）先设直线y=x+t是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离；
（2）求出抛物线C的准线，可得半径，即可求以点P为圆心且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

解答 解：（1）设直线y=x+t是抛物线的切线，所求最小距离是两直线之间的距离，
代入化简得x²-4x-4t=0
由△=0得t=-1
代入方程得x=2，y=1，
∴P为（2，1），
∴点P到直线l的最小距离为=$\frac{|2-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（2）抛物线C：x²=4y的准线为y=-1，
∵圆以点P为圆心且与抛物线C的准线相切，
∴半径为2，
∴圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．