Question

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．
（1）证明：BD ∥平面EMF；
（2）证明：AC₁⊥BD；
（3）当EF⊥AB时，求线段AC₁ 的长。

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为点F,M分别是C₁D,C₁B的中点，            
所以FM∥BD． 
又FM平面EMF，BD平面EMF,      
所以BD∥平面EMF．

（Ⅱ）在菱形ABCD中，设O为AC,BD的交点, 
    则AC⊥BD．
所以，在三棱锥C₁-ABD中，C₁O⊥BD,AO⊥BD
有C₁O ∩AO=O.
所以BD⊥平面AOC₁
又AC₁平面AOC₁.
所以BD⊥AC₁
（Ⅲ）连结DE，C₁E．在菱ABCD形中，DA=AB,∠BAD=60°，    
所以 △ABD是等边三角形.     所以DA=DB ．  
因为 E为AB中点，所以DE⊥AB．           
 又EF⊥AB ，EF∩DE=E．            
所以 AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC₁．
 又C₁E平面DEC₁，所以AB⊥C₁E ．
因为 AE=EB，AB=4,BC₁=AB，
所以AC₁=BC₁=4