Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＜0，且f（2）=-

1

2

，则不等式xf（x）＜-1的解集为（　　）

• A、（-∞，-

  1

  2

  ）∪（

  1

  2

  ，+∞）
• B、（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-2，2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＜0，且f（2）=-

1

2

得条件作出函数f（x）的草图，讨论求不等式xf（x）＜-1的解集．

解答： 解：由题意作草图如下，

f（x）在R上递减；当x＞0时，f（x）＜-

1

x

，且其交点是（2，-

1

2

），
当x＜0时，f（x）＞-

1

x

，
其交点是（-2，

1

2

），
所以解集为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故选C．

点评：本题考查了学生的作图能力及导数的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．