Question

函数f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求实数a，b的值；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数奇偶性，得到f（x）满足的一个关系式，再利用条件f(

1

2

)=

2

5

，得到f（x）的一个关系式，解得a、b的值，得到本题结论；（2）将分式转化为积为定值的形式，利用基本不等式求出最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
即：

a(-x)+b

(-x)2+1

=-

ax+b

x2+1

，
∴-ax+b=-ax-b，
∴b=0．
∴f（x）=

ax

x2+1

，
∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴

1 2 ×a

( 1 2 )2+1

=

2

5

，
∴a=1．
综上，a=1，b=0．
（2）由（1）知：
f（x）=

x

x2+1

，
当x=0时，f（x）=0；
当x＞0时，f（x）=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x× 1 x

=

1

2

，
∴0＜f(x)≤

1

2

；
当x＜0时，-

1

2

≤f（x）＜0，
综上，-

1

2

≤f（x）≤

1

2

．
∴函数f（x）的值域为：[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查了函数奇偶性和基本不等式，本题难度不大，属于基础题．