Question

已知点P（x，y）在圆x²+（y-1）²=1上，求（x-2）²+y²的最小值，

y+2

x+1

的最小值．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：由已知得

x=cosθ y=1+sinθ

，0≤θ＜

π

2

，（x-2）²+y²=（cosθ-2）²+（sinθ+1）²=2

5

sin（θ+α）+6，由此能求出（x-2）²+y²的最小值；设

y+2

x+1

=k，则y-kx-k+2=0，圆心（0，1）到直线y-kx-k+2=0的距离小于等于半径1，由此能求出

y+2

x+1

的最小值．

解答： 解：点P（x，y）在圆x²+（y-1）²=1上，
∴

x=cosθ y=1+sinθ

，0≤θ＜

π

2

，
∴（x-2）²+y²=（cosθ-2）²+（sinθ+1）²
=cos²θ-4cosθ+4+sin²θ+2sinθ+1
=2

5

sin（θ+α）+6，
∴（x-2）²+y²的最小值为6-2

5

．
设

y+2

x+1

=k，则y-kx-k+2=0，
∵P是圆和直线的公共点，
∴圆心（0，1）到直线y-kx-k+2=0的距离小于等于半径1，
∴

|1-k+2|

k2+1

≤1，
解得k≥

4

3

，
∴

y+2

x+1

的最小值为

4

3

．

点评：本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程的点到直线的距离公式的合理运用．