Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+2x-lnx（a≠0）．
（1）当a=3时，求函数的单调区间；
（2）若f（x）存在单调增区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）将a=3代入化简，求导，求解单调性，（2）由已知得f′（x）=ax+2-

1

x

，利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＜0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=3时，函数f（x）=

3

2

x²+2x-lnx，（x＞0），
则f′（x）=3x-

1

x

+2=

3x2+2x-1

x

，
∵x＞0，
∴当3x²+2x-1＜0即0＜x＜

1

3

时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当3x²+2x-1≥0即x≥

1

3

时，f′（x）≥0，函数单调递增，
综上，函数的单调增区间为[

1

3

，+∞），单调减区间为（0，

1

3

），
（2）f（x）=

1

2

ax²+2x-lnx，（x＞0），
f′（x）=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

，
依题意，得f'（x）＞0在（0，+∞）上有解．即ax^2₊2x-1＞0在x＞0时有解．
①显然a≥0时，不等式有解，
②a＜0时，需满足△=4+4a＞0，解得a＞-1，即-1＜a＜0，
综合①②得a＞-1，
故a的取值范围为：（-1，+∞）．

点评：本题主要考查实数取值范围的求法，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．