Question

若在区间[-1，6]上等可能的任取一实数a，则使得函数f（x）=x³-3x-a有三个相异的零点的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：构造g（x）=x³-3x，k（x）=a，运用导数判断出极值，根据图象求解出a的范围：-2＜a＜2，再根据题意得出-1≤a≤2，区间长度为3，即可运用几何概率求解．

解答： 解：函数f（x）=x³-3x-a，
构造g（x）=x³-3x，
k（x）=a，
f′（x）=3x²-3，
∴f′（x）=3x²-3=0，x=±1，
f′（x）=3x²-3＞0，x＞1，x＜-1，
f′（x）=3x²-3＜0，-1＜x＜1，
∴f（x）在（-1，1）单调递减，（1，+∞）（-∞，-1）单调递增，
∴f（x）_极大值=f（-1）=2，
f（x）_极小值=f（2）=-2
∴g（x）=x³-3x，k（x）=a，有三个交点时，a的范围：-2＜a＜2，
∵在区间[-1，6]上等可能的任取一实数a
∴-1≤a≤2，区间长度为3，
∴使得函数f（x）=x³-3x-a有三个相异的零点的概率为

3

7

故答案为：

3

7

点评：本题考查了函数的图象的运用，结合导数判断极值，确定交点对应的变量范围，再运用结合概率求解，属于综合题，难度较大．