Question

正项等比数列{a_n}中，a₂=3，a₆=243，S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1q=3 a1q5=243 q＞0

，由此得an=3n-1．由此得5×3+

5×4

2

d=35，由此得b_n=3+n-1=n+2．
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（n+2）•3^n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正项等比数列{a_n}中，a₂=3，a₆=243，
∴

a1q=3 a1q5=243 q＞0

，解得a₁=1，q=3，
∴an=3n-1．
∵S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35，
∴5×3+

5×4

2

d=35，解得d=1，
∴b_n=3+n-1=n+2．
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（n+2）•3^n-1，
∴T_n=3•3⁰+4•3+5•3²+…+（n+2）•3^n-1，①
∴3T_n=3•3+4•3²+5•3³+…+（n+2）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=3+3+3²+3³+…+3^n-1-（n+2）•3ⁿ
=3+

3(1-3n)

1-3

-（n+2）•3ⁿ
=

3

2

-(n+

1

2

)•3n，
∴T_n=（

n

2

+

1

4

）•3ⁿ-

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．