Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）若f（θ+

π

12

）=

1

3

，θ∈（

π

4

，

π

2

），求sin2θ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x+

π

6

）从而可根据正弦函数的性质求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（2）根据已知可先求sin（2θ+

π

3

），cos（2θ+

π

3

）的值，从而由sin2θ=sin（2θ+

π

3

-

π

3

）=sin（2θ+

π

3

）cos

π

3

-cos（2θ+

π

3

）sin

π

3

即可求值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=sin（2x+

π

6

），
∴当x∈{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}，f（x）_max=1；
（2）∵f（θ+

π

12

）=

1

3

，θ∈（

π

4

，

π

2

），
∴可解得：sin（2θ+

π

3

）=

1

3

，2θ∈（

π

2

，π），
∴cos（2θ+

π

3

）=-

2 2

3

，
∴sin2θ=sin（2θ+

π

3

-

π

3

）=sin（2θ+

π

3

）cos

π

3

-cos（2θ+

π

3

）sin

π

3

=

1+2 6

6

，
∴sin2θ=

2 6 +1

6

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．