Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记b_n=

4+an

1-an

(n∈N*)，已知数列{b_n}的前n项和为R_n，正实数λ满足：R_n≤λn对任意正整数n恒成立，则λ的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：当n=1时，a₁=5a₁+1，求得a₁=-

1

4

，又由a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，两式相减，再由等比数列的通项公式，求得a_n，进而得到b_n，设n=2k+1（k∈N⁺）推出R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1＞4n-1，由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．

解答： 解：当n=1时，a₁=5a₁+1，∴a₁=-

1

4

，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即a_n+1=-

1

4

a_n，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项-

1

4

，公比是-

1

4

，
∴a_n=（-

1

4

）•（-

1

4

）^n-1=（-

1

4

）ⁿ．
∴b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

，
一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（k∈N⁺）
则R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=4n+5×（-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

）=4n+5×[-

1

41+1

+（

1

42-1

-

1

43+1

）+…+
（

1

42k-1

-

1

42k+1+1

）]
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1对一切大于1的奇数n恒成立
∴λ≥4否则，（λ-4）n＞-1只对满足n＜

1

4-λ

的正奇数n成立，矛盾．
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有R_n≤4n
事实上，对任意的正整数k，有b_2n-1+b_2n=8+

5

(-4)2k+1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

16k-1

-

20

16k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

，
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N⁺）
则R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＜8m，
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N⁺）
则R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴对一切的正整数n，都有R_n≤4n
综上所述，正实数λ的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．