Question

已知函数f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=xlnx-f（x）在定义域内存在零点，求a的最大值．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取随范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数求导来得出函数的单调区间，这里注意对a的讨论．
（Ⅱ）函数F（x）有零点，即定义域内存在x使F（x）=0，这样便得到含有a的等式，为了求a的最大值，所以可能要整理成用x表示a的等式，也可说是把a求出来．即a=

1-ex

x

+lnx，所以求函数

1-ex

x

+lnx最大值即可．
（Ⅲ）要让f（g（x））＜f（x）恒成立，应猜想函数f（x）在（0，+∞）单调递增或递减，而g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立；所以下面要做的是看g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立，然后再看f（x）在（0，+∞）上的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a所以，
（1）若a≥0，则f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）若a＜0，令e^x+a=0，得x=ln（-a），当x＜ln（-a）时，f′（x）＜0；当x＞ln（-a）时，f′（x）＞0，所以：
f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增；
综上得：当a≥0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增．
（Ⅱ）由题意知：在（0，+∞）上存在x使F（x）=xlnx-f（x）=xlnx-e^x-ax+1并得到a=

1-ex

x

+lnx；
所以函数

1-ex

x

+lnx的最大值，就是a的最大值，则令h（x）=

1-ex

x

+lnx，h′（x）=（1-x）（e^x-1）；
所以，x∈（0，1）上h′（x）＞0，x∈（1，+∞） h′（x）＜0，所以h（x）≤h（1）=1-e，即h（x）最大值是1-e，所以a的最大值是1-e．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=-1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；
∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e^x-1＞x；
故对任意x＞0，g（x）=ln（e^x-1）-lnx＞0；
所以，要证?x＞0，g（x）＜x；
只需证：?x＞0，ln（e^x-1）-lnx＜x；
即证：ln（e^x-1）＜lnx+lne^x；
即证：?x＞0xe^x＞e^x-1；
所以，只要证：?x＞0xe^x-e^x+1＞0；
令H（x）=xe^x-e^x+1，则H′（x）=xe^x＞0；
故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴H（x）＞H（0）=0；
∴对?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，即g（x）＜x；
（1）当a≥0时，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上单调递增；
则f（g（x））＜f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（2）当a＜0时，由（Ⅰ）知f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，要使f（x）在（0，+∞）上单调递增，须ln（-a）≤0，得-1≤a＜0；
故a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：第一问求单调区间，应用导数法求，注意对a讨论．第二问，注意把求a的最大值，转变成求函数的最大值，并且用求导判断单调性的办法．第三问，看到恒成立的不等式，去猜想g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立，然后根据函数的单调性求a的范围即可．