Question

如图，已知三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）依题意，易证AD⊥平面BCC₁B₁，利用面面垂直的性质定理即可证；
（2）取C₁B₁的中点E，连接A₁E，ED，易证平面A₁EC∥平面AB₁D，利用面面平行的性质即可证得A₁C∥平面AB₁D．

解答： 证明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，D是BC中点，AA₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AA₁⊥AD；
又AA₁∥BB₁，
∴AD⊥BB₁；
又底面ABC为正三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC，而BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁D?平面AB₁D
∴平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2））取C₁B₁的中点E，连接A₁E，ED，

则B₁E∥DC，B₁E=DC
∴四边形B₁DCE为平行四边形，于是有B₁D∥EC，又A₁E∥AD，B₁D∩AD=D，A₁E∩EC=E，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C?平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查面面平行的性质，（2）中证得平面A₁EC₁∥平面AB₁D是关键，考查作图、推理与证明的逻辑思维能力，属于中档题．