Question

（2012•韶关二模）定义符号函数sgnx=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，设f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f1(x)+

sgn(x- 1 2 )+1

2

•f₂（x），x∈[0，1]，其中f₁（x）=x+

1

2

，f₂（x）=2（1-x），若f[f(a)]∈[0，

1

2

)，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  4

  ]
• B．(

  1

  4

  ，

  1

  2

  )
• C．(

  1

  4

  ，

  1

  2

  ]
• D．[0，

  3

  8

  ]

Answer 1

分析：对不等式分类讨论，即x＞

1

2

、x=

1

2

、x＜

1

2

，分别求出f（x），然后由f[f（a））∈[0，

1

2

)可得-

1

2

≤f(a)＜ 0或

3

4

＜f(a)≤1，从而可求

解答：解：①如果x＞

1

2

，f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f1(x)+

sgn(x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）
=

-1+1

2

•(x+

1

2

)+

1+1

2

•(2-2x)=2-2x
②如果x=

1

2

，f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f1(x)+

sgn(x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）
=

0+1

2

•(x+

1

2

)+

0+1

2

 •(2-2x)=

5 2 -x

2

=1
③如果x＜

1

2

，f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f1(x)+

sgn(x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=

1

2

+x

综上可得，f（x）=

x+ 1 2 ，x＜ 1 2 1，x= 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，其图象如图所示

∵f[f（a））∈[0，

1

2

)
∴-

1

2

≤f(a)＜ 0或

3

4

＜f(a)≤1
当a＜

1

2

时，有-

1

2

≤a+ 

1

2

＜0或

3

4

＜a+

1

2

≤1，解可得

1

4

＜a＜

1

2

或-1≤a＜-

1

2

当a=

1

2

时，f（

1

2

）=1，f[f（

1

2

）]=f（1）=0，符合题意
当a＞

1

2

时，无解
综上可得，

1

4

＜a≤

1

2

结合选项可知选项C正确
故选C

点评：本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，解题的关键是函数图象的熟练应用