Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一部分图象如图所示
（I） 求函数f（x）解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（kx）（k＞0）周期为

2π

3

，当x∈[0，

π

3

]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象可知A的值，再求出ω的值，根据（

π

3

，2）在图象上可求φ的值，从而可求函数f（x）解析式；
（2）先求出k的值，确定f（3x）的解析式，令t=3x+

π

6

，根据x，t的取值范围即可求出实数m的取值范围．

解答： （本题满分12分）
解：（1）由图象可知A=2，T=2(

4π

3

-

π

3

)=2π=

2π

ω

，ω=1---------------------------------------（4分）
又因为，ω•

π

3

+φ=

π

2

，φ=

π

6

故可得f(x)=2sin(x+

π

6

)…（6分）
（2）∵函数y=f(kx)=2sin(kx+

π

6

)的周期为

2π

3

又k＞0
∴k=3∴y=f(3x)=2sin(3x+

π

6

)---------------------------------------（8分）
令t=3x+

π

6

，∵x∈[0，

π

3

]
∴t∈[

π

6

，

7π

6

]sint=s在[

π

6

，

7π

6

]上有两个不同的解的条件是s∈[

1

2

，1)
∴方程f（kx）=m在x∈[0，

π

3

]时恰好有两个不同的解的条件是m∈[1，2），
即实数m的取值范围是m∈[1，2）…（12分）

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于中档题．