【题目】已知等差数列的前n项和为,并且,数列满足:,,记数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式及前n项和为;
(2)求数列的通项公式及前n项和为;
(3)求的最大值.
【答案】(1),;(2),;(3).
【解析】
(1)利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出;
(2)先得到,再利用累乘法,得到数列{bn}的通项公式,再利用错位相减法求出前n项和公式Tn;
(3)根据函数的的单调性,得到不等式,n∈N+继而求实数λ的取值范围
(1)设数列{an}的公差为d,
由题意得,解得,
∴an=n,
∴.
(2)由题意得,
累乘得.
由题意得①
②
①﹣②得:
∴
(3)由上面可得,令,
则f(1)=1,,,,.
下面研究数列的单调性,
∵,
∴n≥3时,f(n+1)﹣f(n)<0,f(n+1)<f(n),即f(n)单调递减.
又n=1时,,n=2时,,即,
所以n=3或n=2时,最大为,
∴的最大值为.
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【题目】双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于、.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过原点,为双曲线上异于、的一点,且直线、的斜率为、,证明:为定值;
(3)若过双曲线的右焦点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形,其中, ,将其沿折起使得与重合,连结,如图2.
(1)证明图2中的四点共面,且平面平面;
(2)求图2中的四边形的面积.
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【题目】设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点),记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则( )
A. B.
C. D.
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【题目】在圆锥中,已知高,底面圆的半径为4,为母线的中点;根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个命题,正确的个数为( )
①圆的面积为;
②椭圆的长轴为;
③双曲线两渐近线的夹角为;
④抛物线中焦点到准线的距离为.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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