Question

已知函数f_n（x）=xⁿ（1-x）²在（

1

4

，1）上的最大值为a_n（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意正整数n，都有S_n＜

13

27

成立．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=（n+2）x^n-1（x-1）（x-

n

n+2

），由此利用导数性质能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当n≥2时，欲证

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，只需证明（1+

2

n

）ⁿ≥4，由此能证明当n≥2时，都有an≤

1

(n+2)2

成立． 
（3）S_n＜

4

27

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+2)2

＜

4

27

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…(

1

n+1

-

1

n+2

)，由此能证明任意正整数n，都有Sn＜

13

27

成立．

解答： 解：（1）∵f_n（x）=xⁿ（1-x）²，
∴fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)
=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]
=（n+2）x^n-1（x-1）（x-

n

n+2

），…（2分）
当x∈（

1

4

，1）时，由fn′(x)=0，知：x=

n

n+2

，…（3分）
∵n≥1，∴

n

n+2

∈(

1

4

，1)，…（4分）
∵x∈（

1

4

，

n

n+2

）时，fn′(x)＞0；x∈（

n

n+2

，1）时，fn′（x）＜0；
∴f（x）在（

1

4

，

n

n+2

）上单调递增，在（

n

n+2

，1）上单调递减
∴fn(x) 在x=

n

n+2

处取得最大值，
即an=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

．…（6分）
（2）当n≥2时，欲证

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，
只需证明（1+

2

n

）ⁿ≥4，…（7分）
∵（1+

2

n

）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)+

C

2 n

(

2

n

)2+…+

C

n n

•(

2

n

)n
≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥1+2+1=4，…（9分）
∴当n≥2时，都有an≤

1

(n+2)2

成立． …（10分）
（3）S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜

4

27

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+2)2

＜

4

27

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

4

27

+

1

3

-

1

n+2

＜

13

27

．
∴对任意正整数n，都有Sn＜

13

27

成立．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．