Question

【题目】动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，已知点的轨迹是过点的圆．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点（，在轴的同侧），，为椭圆的左、右焦点，若，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3．

【解析】

（1）设点，，得到，点的轨迹是过的圆，故，得到椭圆方程.

（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，设，，直线的方程为，联立方程得到，，计算，利用均值不等式得到答案.

（1）设点，，则点，，，

，，，

点在椭圆上，，即为点的轨迹方程．

又点的轨迹是过的圆，，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，

由（1）可知，，

设，，直线的方程为，

由可得，，

，，

，

设与的距离为，则四边形面积

，

而，

，

当且仅当，即时，取等号．

故四边形面积的最大值为3．