Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，，e^0.3≈1.3）
（Ⅱ）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+4x-3，（1分）
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，（2分）
∴f′（x）在区间[0，1]上单调递增，
∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0．（3分）
又∵f′（x）在区间[0，1]上是单调函数
∴f′（x）在区间[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极小值点．（4分）
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
①f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）=-2＜0，
∴f'（0.5）×f'（0）＜0）
∴极值点所在区间是[0，0.5]；
②又f'（0.3）≈-0.5＜0，
∴f'（0.3）×f'（0.5）＜0，
∴极值点所在区间是[0.3，0.5]；
③∵|0.5-0.3|=0.2，
∴区间[0.3，0.5]内任意一点即为所求．
∴x=0.4（7分）
（Ⅱ）由，得，
即，
∵，∴，（8分）
令，则．（10分）
令，则φ'（x）=x（e^x-1）．
∵，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在上单调递增，
∴，
因此g′（x）＞0，故g（x）在上单调递增，（12分）
则，
∴a的取值范围是．（14分）
分析：（Ⅰ）先求函数的导数，求导数在0和1处的值，乘积小于0即可
（Ⅱ）利用分参法把a分离出来，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，求a的取值范围
点评：该题考查函数的求导，判断函数的单调性，会使用二分法和分参法的方法求出a的取值范围．注意极值点的取值区间．