Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围．

（Ⅰ），，，

，，

由，得，又，，

解得：，，．

椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设直线，则与直线的交点，

又，设直线，

联立，消可得．

解得，，

联立，得，，

直线，

联立，解得，，

，

，，，

，

，

函数在上单调递增，

，．