Question

已知函数f(x)=

2

x

+alnx-2
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，建立方程，即可求a的值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的导数为f′（x）=-

2

x2

+

a

x

，则
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，直线y=x+2的斜率为1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
（Ⅱ）求导数可得f′(x)=

ax-2

x2

(x≥1)
a≥2时，f′（x）≥0，函数在x∈[1，+∞）上单调递增，∴f（x）_min=f（1）=0，满足题意；
a＜2时，f′（x）＜0，函数在x∈[1，+∞）上单调递减，∴f（x）_max=f（1）=0，不满足题意
综上，a的范围为[2，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．