Question

已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．

 

Answer 1

－13

【解析】求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，

由函数f(x)在x＝2处取得极值知

f′(2)＝0，

即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.

由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，

f′(x)＝－3x2＋6x，

易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，

∴当m∈[－1,1]时，

f(m)min＝f(0)＝－4.

又f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，

且对称轴为x＝1，

∴当n∈[－1,1]时，

f′(n)min＝f′(－1)＝－9.

故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.