Question

已知函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）x+1＞0得 f（x）的定义域为（-1，+∞）
∵函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
∴f（0）=1，f'（0）=0∴a=2，b=1…（5分）
∴f（x）=x²+2x+1-2ln（x+1）
??x＞0
??-1＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间（-1，0）． …（10分）
（Ⅱ）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
令f^′（x）=0?（1+x）²=1?x=0或x=-2（舍），f（0）=1，f（e-1）=e²-2
∴当时，f（x）_max=f（e-1）=e²-2
因此可得：不等式f（x）＜m恒成立时，m＞e²-2…（15分）
分析：（Ⅰ）已知函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．则f（0）=1，f'（0）=0，可求实数a、b的值；f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（Ⅱ）由题意当 时，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；
点评：本题意函数的极值为载体，主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力