Question

7．已知二次函数f（x）的对称轴x=2，f（x）的最小值为-3，且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=a（x-2）²-3（a＞0），由f（0）=1，可得a=1，从而可求得f（x）的解析式；
（2）f（（$\frac{1}{2}$）^x）=[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²-3，依题意，可求得{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min=0，于是可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）解：∵二次函数f（x）的对称轴x=2，f（x）的最小值为-3，
∴f（x）=a（x-2）²-3（a＞0），
又f（0）=1，∴a=1，
∴f（x）的解析式为：f（x）=（x-2）²-3．
（2）∵f（（$\frac{1}{2}$）^x）=[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²-3＞k对x∈[-1，1]恒成立，
∴k+3＜{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min，
当x∈[-1，1]时，$\frac{1}{2}$≤（$\frac{1}{2}$）^x≤2，
∴{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min=0，
∴k＜-3．
即实数k的取值范围为（-∞，-3）．

点评 本题考查函数恒成立问题，（2）中，求得{[（$\frac{1}{2}$）^x-2]²}_min=0是解决问题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．