Question

已知数列{a_n}前n项和，
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}是否存在最大值项，若存在，说明是第几项，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|，试比较的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由①，得②，
②-①得，a_n+1=2a_n+1-2a_n+2ⁿ，即，
则===-1，为常数，
所以数列是等差数列，且公差为-1，
由S₁=2a₁+2解得a₁=-2，
所以=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，==（2011-n）•2^n-1，
则，当n=2011时，b_n=0，
当n＞2011时，b_n＜0，令=≥1，得n＞2011，所以b_n＞b_n+1，即b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
当n≤2010时，b_n＞0，令=≥1，解得n≤2009，
所以n≤2009时，b_n+1≥b_n，所以0＜b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀，
综上，b₁＜b₂＜b₃＜…b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
所以数列{b_n}存在最大值项，为第2009项或2010项；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，=2[-（n+1）•2^n-1]+2ⁿ=-n•2ⁿ，
所以|S_n|=n•2ⁿ，
则T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹==（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
所以==（n-2）•2^n-1+1，
又==（n-2）•2^n-1，
所以．
分析：（Ⅰ）由，得，两式相减可得数列递推式，借助该递推式可计算为常数，由等差数列定义即可证明为等差数列，从而可求得，进而求得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出b_n，据其通项可判断数列{b_n}各项符号，通过作商可判断数列的单调性，由单调性即可判断其最大值项；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求得S_n，从而得|S_n|，由错位相减法可求出T_n，进而得到，由（Ⅰ）易求，两者大小关系容易判断；
点评：本题考查等差数列、数列求和，考查错位相减法对数列求和，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力，综合性较强．