Question

已知函数f(x)=a·lnx+b·x²在点(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0，
（1）求f(x)的表达式；
（2）若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立，则称f(x)是g(x)的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（3）当m＞0时，讨论在区间(0，2)上极值点的个数。

Answer 1

解：（1）当x=1时，y=0，代入得b=0，
所以f(x)=alnx，，
由切线方程知f′(1)=0，所以a=1，故f(x)=lnx。
（2）f(x)≥g(x)恒成立，即恒成立，
因为x＞0，所以t≤2xlnx，
令h(x)=2xlnx，，
当时，h′(x)＜0，所以h(x)在为减函数；
当时，h′(x)＞0，所以h(x)在为增函数；
h(x)的最小值为，故．
（3）由已知，
，
又x＞0，由F′(x)=0得，，，
①当时，得m=1，F′(x)≥0，F(x)在（0，2）为增函数，无极值点；
②当且时，得且m≠1，F(x)有2个极值点；
③当或时，得或m≥2时，F(x)有1个极值点；
综上，当m=1时，函数F(x)在（0，2）无极值点；当或m≥2时，F(x)有1个极值点；
当且m≠1时，F(x)有2个极值点．